Forschen mit KI: ein Test am Dreikörperproblem

Worum es hier geht

Das Dreikörperproblem ist der Testfall. Wer darin forscht, braucht normalerweise Kenntnisse in Himmelsmechanik, numerischer Mathematik und Programmierung. Nils, der dieses Projekt leitet, ist kein Mathematiker. Die Frage war deshalb nicht nur, ob der Scan etwas findet, sondern wie weit man mit KI-Unterstützung in ein solches Gebiet vordringt, ohne dass das Ergebnis nur nach Forschung aussieht.

Dieses Risiko ist real. Ein Text kann wissenschaftlich klingen, ohne dass die Zahlen stimmen. Der Maßstab ist deshalb nicht der Bericht selbst, sondern was sich nachprüfen lässt. So war die Arbeit aufgeteilt:

Was die Prüfung noch nicht leistet: Sie liegt bisher bei uns selbst, der Bericht ist nicht begutachtet, und ein strenger Existenzbeweis fehlt. Die Fachkompetenz verschwindet dadurch nicht, sie verlagert sich. Weg davon, jeden Rechenschritt selbst auszuführen, hin zu den richtigen Fragen, zum kritischen Prüfen und zum Einfordern belastbarer Nachweise. Wie viel von den Verfahren der Projektleiter im Detail selbst nachvollzieht, ist dabei zweitrangig. Entscheidend ist, ob andere die Ergebnisse nachrechnen können.

Der Testfall: drei Körper

Zwei Körper, die sich anziehen, laufen auf Ellipsen, und das ist seit Newton gelöst. Bei drei Körpern gibt es keine allgemeine Formel. Fast alle Bewegungen sind chaotisch und enden irgendwann damit, dass einer der Körper davonfliegt. Die Ausnahmen sind periodische Bahnen, bei denen sich die Konfiguration nach einer festen Zeit exakt wiederholt. Die berühmteste ist die Acht, bei der drei gleiche Massen hintereinander dieselbe liegende Acht durchlaufen. Sie wurde 1993 numerisch gefunden und im Jahr 2000 bewiesen.¹

Seit 2013 sind Hunderte weitere Bahnen dazugekommen, zuerst 13 Familien von Šuvakov und Dmitrašinović, dann 695 Familien von Li und Liao, zuletzt 971 stabile Bahnen aus der Sofia-Suche von 2025. Wir wollten wissen, ob ein einfacher Raster-Scan auf einem normalen Rechner diese Bahnen von allein wiederfindet, ob er etwas übersieht, und ob sich in den Daten eine Regel zeigt.

Der Scan

Wir setzen zwei Körper auf (−1, 0) und (+1, 0) und den dritten in den Ursprung. Die ersten beiden bekommen dieselbe Geschwindigkeit (v₁, v₂), der dritte die doppelte, entgegengesetzte. Damit sind Impuls und Drehimpuls null, und zwei Zahlen legen die Bahn fest. Für jedes Paar auf einem 1000 × 1000 Raster rechnen wir die Bewegung und merken uns, wie nah das System dem Startzustand je wieder kommt. Dunkle Stellen der Karte sind Orte, an denen eine periodische Bahn in der Nähe liegt.

Aus den dunklen Stellen werden die Startwerte auf exakte Rückkehr verfeinert und mit einem zweiten Integrator nachgerechnet. Übrig blieben 61 verschiedene Bahnen. Darunter sind ohne Vorwissen die Acht, Butterfly I und II und Moth I.

Eine Faustregel für die Periode

Vergleicht man Bahnen verschiedener Größe, hilft die skalenfreie Periode T* = T · |E|^3/2, mit der Periode T und der Gesamtenergie E.² Zählt man außerdem, wie oft die drei Sterne während einer Periode auf einer Geraden stehen (n), zeigt sich ein fast linearer Zusammenhang.

Die Konstante 1,518 haben wir an 36 Bahnen aus dem ersten Scan festgelegt (R² = 0,998) und vorab schriftlich als Vorhersage festgehalten. Danach lief ein zweiter Scan mit anderem Raster. An 25 neuen Bahnen, darunter n bis 157, lag die Vorhersage im Mittel 1,5 % daneben, maximal 3,4 %. Zum Vergleich: Stur den Mittelwert vorherzusagen, liegt im Schnitt etwa 50 % daneben.

Das ist eine Faustregel und kein Gesetz. Ein ähnlicher Zusammenhang ist in der Literatur bekannt, dort mit der Länge eines Wortes der freien Gruppe statt der Geradendurchgänge.³ Neu ist hier nur die unabhängige Bestätigung mit vorab festgelegter Vorhersage.

Bahnen ansehen

Die folgenden zehn Bahnen sind aus dem Scan. Fünf sind bekannt, fünf sind Kandidaten. Jede Farbe ist ein Stern, gezeigt wird eine volle Periode.

Instabil heißt empfindlich

Alle 24 Kandidaten sind linear instabil, eine winzige Störung wächst also mit jedem Umlauf. Das messen wir mit der Monodromiematrix. Ihre größten Multiplikatoren liegen bei den Kandidaten zwischen 7,2 und 1,8e+9. Bei der Acht sind sie genau eins, sie ist stabil. Im Versuch unten bekommt je eine Kopie der Bahn einen Versatz von 1,0e-6 bei zwei Sternen.

Für die Suche ist das ein Problem und eine Gelegenheit. Instabile Bahnen sind in den Katalogen seltener, weil sie schwer zu finden sind. Sie lassen sich aber auch schwerer nachrechnen, und das hat uns später einiges gekostet.

Gegen die Kataloge

Jede Bahn wurde mit drei Quellen verglichen: der Li-Liao-Tabelle (695 Familien), der Sofia-Liste (971 stabile Bahnen) und dem Atlas threebodyorbits.com. Der Atlas sammelt 3.942 Bahnen, darunter die Belgrader Klassen von Šuvakov und Dmitrašinović. Deren eigener Katalog-Server war während der Arbeit nicht erreichbar.

Verglichen wird die skalenfreie Periode, denn sie hängt nicht davon ab, wo auf der Bahn man startet. Bei Li–Liao ließ sich das erst entscheiden, nachdem wir die Katalogeinträge selbst auf exakte Rückkehr gerechnet hatten, weil die Tabelle T* nur auf drei Stellen angibt. Zwei Treffer haben andere Startwerte, aber eine Periode, die auf 1e-9 stimmt: dieselbe Bahn, an anderer Stelle gestartet.

Die 11 Treffer im Atlas, die in Li–Liao und Sofia fehlen, ordnet der Atlas so zu: 6 Šuvakov, 3 Rose 2016, 2 Hristov 2024. Bei jedem stimmen die Periode (auf 5e-7), die Zahl der Geradendurchgänge und der größte Multiplikator überein, der Letzte auf drei bis vier Stellen. Das bestätigt die Zuordnung und nebenbei unsere Stabilitätsrechnung. Als Probe fand der Atlas auch alle 25 Bahnen wieder, die vorher schon über Li–Liao oder Sofia identifiziert waren. Für die 24 Kandidaten liegt der nächste Atlas-Eintrag mindestens 4,2e-4 entfernt, gleiche Bahnen liegen unter 5e-7.⁴

Die Kandidaten schließen

Ein erster Versuch, die Kandidaten mit einem Newton-Lauf über die ganze Periode genauer zu machen, scheiterte bei etwa 1e-5. Eine instabile Bahn verstärkt Rundungsfehler über eine Periode um bis zu 1,1e+10. Die Lösung war ein Mehrfach-Schießverfahren: Die Periode wird in 21 bis 486 Stücke geteilt, und alle Stückanfänge werden gemeinsam so bestimmt, dass jedes Stück am Anfang des nächsten endet.⁵ Die Verstärkung wirkt dann nur noch innerhalb eines Stücks.

So schlossen sich 24 der 25 offenen Bahnen auf höchstens 4,8e-13 Sprung zwischen den Stücken, auch solche, die vorher nur auf 4e-3 geschlossen hatten. Jedes Stück haben wir zusätzlich in mpmath mit 22 Stellen einzeln nachgerechnet, der größte Sprung dort beträgt 1,2e-12. Die Bahn mit T* ≈ 202,92 blieb bei 2,0e-4, auch mit 98 Stücken. Sie fällt als Kandidat weg.

Was das bringt und was nicht

Was bleibt, ist kleiner und sicherer. Ein Raster-Scan auf einem normalen Rechner findet die bekannten Bahnen von allein wieder. Die Pipeline aus Scan, Katalogabgleich, Mehrfach-Schießen und unabhängiger Nachrechnung ist nachprüfbar, und ihre Fehler sind dokumentiert. Und 24 geschlossene Bahnen sind in den geprüften Quellen nicht zu finden. Wenn sie neu sind, wären das Einträge für die Kataloge und Testfälle für Rechenverfahren. Eine Entdeckung im großen Sinn wäre es nicht.

Für die Arbeitsweise sagt das Ergebnis mehr als für die Mathematik. Es zeigt, dass sich mit KI-Unterstützung eine Kette aus Scan, Verfeinerung, getrennter Nachrechnung, Katalogabgleich und Auswertung aufbauen lässt, in der jeder Schritt dokumentiert ist und Fehler sichtbar werden (siehe „Fehler unterwegs“). Es zeigt nicht, dass die Ergebnisse stimmen. Das entscheidet sich daran, ob andere sie nachrechnen können. Dafür haben wir Code, Startzustände und Zwischenergebnisse veröffentlicht (siehe „Daten und Code“). Nachgerechnet haben sie bisher nur wir.

Unsere Vermutung

Eine Lösung im Sinn einer Formel gibt es nicht. Wir können aber etwas Prüfbares behaupten. Teilt man die skalenfreie Periode durch die Zahl der Geradendurchgänge, also T*/n, dann liegt dieser Wert bei fast allen Bahnen in einem schmalen Streifen. Die Obergrenze des Streifens ist scharf, und sie gehört der Acht: 9,2377 / 6 = 1,5396.

Der Test hat eine Ausnahme: ii_dragonfly_ii_17_c mit n = 98 und T*/n = 1,596. Wahrscheinlich ist dort die Zahl der Geradendurchgänge zu klein gezählt (bei 102 oder mehr läge der Wert unter der Grenze). Das haben wir nicht nachgerechnet, weil der Atlas keine Startwerte liefert. Bis das geklärt ist, ist es eine Vermutung und kein Satz.

Wiederholt man eine Bahn k-mal, verdoppelt sich T* mit n, und das Verhältnis bleibt gleich. Die Aussage lautet also: Keine Bahn braucht im Mittel länger pro Geradendurchgang als die Acht. Eine mögliche Deutung, die wir nicht bewiesen haben: Nähere Begegnungen der Sterne beschleunigen die Bewegung. Passend dazu hängt T*/n mit dem kleinsten Abstand zusammen (Rangkorrelation 0,65 über alle Atlas-Bahnen). Nimmt man den kleinsten Abstand als zweite Größe in die Faustregel auf (für Bahnen mit n ≥ 20), sinkt die mittlere Abweichung von 2,7 % auf 2,1 %, auch auf einer abgetrennten Testhälfte. Das ist eine kleine Verbesserung. Die Hälfte der Streuung bleibt unerklärt.

Zur Frage, wie man das Problem lösen könnte, gibt es zwei Wege. Der eine ist der der Literatur: Bahnen nach ihrer Topologie ordnen (ein Wort in der freien Gruppe mit zwei Erzeugern) und zeigen, dass die Periode daraus folgt. Das ist offen und schwer. Der andere ist rechnerisch: Für jede Bahn mit Intervallarithmetik beweisen, dass sie existiert. Dann steht ein Katalog, auf dem man Vermutungen wie die obige falsifizieren kann. Wir haben den zweiten Weg begonnen. Ob die Obergrenze in der Literatur schon steht, wissen wir nicht, wir haben sie dort nicht gefunden und auch nicht systematisch gesucht.

Was noch fehlt

1. Nachrechnung durch Dritte. Code und Daten sind veröffentlicht, ausgeführt haben wir sie bisher nur selbst.
2. Rückfrage bei den Katalogautoren, ob die 24 Bahnen bekannt sind. Ein Entwurf liegt vor und ist nicht versendet.
3. Durchsicht der Veröffentlichungen im Volltext, auch für instabile Bahnen. Bisher geprüft wurden die Kataloge und Zusammenfassungen.
4. Ein strenger Existenzbeweis mit Intervallarithmetik. Die Rechnung zeigt, dass sich die Bahnen schließen, beweist es aber nicht im mathematischen Sinn.
5. Die Kandidaten ordnen: Welche gehören zur selben Familie, welche sind eigenständig?

Methode und Fehler

Fußnoten

1. Moore (1993) fand die Acht numerisch, Chenciner und Montgomery (2000) bewiesen ihre Existenz. ↩
2. T* ist die Periode, die man bekäme, wenn man die Bahn so skaliert, dass |E| = 1 ist. Sie macht Bahnen unterschiedlicher Größe vergleichbar. ↩
3. Dmitrašinović, Šuvakov und Kollegen (2015), siehe Quellen. Die Zusammenfassung nennt etwa 10 % Abweichung im schlechtesten Fall, bei uns liegt sie mit anderer Zählung bei 3,4 % im Test. Ich kenne die Arbeit nur aus einer Zusammenfassung. ↩
4. Der Atlas gibt die Energie nur auf sieben Stellen an, deshalb ist seine skalenfreie Periode auf etwa 1e-7 relativ genau. Das legt die Toleranz von 5e-7 fest. ↩
5. Englisch multiple shooting. Die Stückanfänge sind gemeinsame Unbekannte, die Bedingung ist, dass das Ende jedes Stücks auf den Anfang des nächsten fällt. Gelöst wird mit einem Gauß-Newton-Verfahren. ↩

Autoren und Danksagung

Nils (2Labs Research), gemeinsam mit Claude, das Rechnungen, Auswertung und Texte mitgeschrieben hat. Wir danken den Autoren der Kataloge, auf denen der Abgleich beruht: Šuvakov und Dmitrašinović, Li und Liao, Hristov und Kollegen in Sofia, und dem Atlas threebodyorbits.com (Daten unter CC BY 4.0).

Quellen

• Šuvakov, Dmitrašinović: Three Classes of Newtonian Three-Body Planar Periodic Orbits (2013)
• Topological Dependence of Kepler's Third Law for Collisionless Periodic Three-Body Orbits (2015)
• Li, Liao: More than six hundred new families of Newtonian periodic planar collisionless three-body orbits · Daten: github.com/sjtu-liao/three-body
• An extensive search for stable periodic orbits of the equal-mass zero angular momentum three-body problem (2025) · Daten: db2.fmi.uni-sofia.bg/3bodystab971
• Hristov et al.: New families of periodic orbits for the planar three-body problem computed with high precision (2022)
• Three Body Orbits: Atlas von 3.942 periodischen Dreikörperbahnen (Katalogdatei vom 22.10.2026)